Modelos matemáticos y retención de humedad en los suelos

 

Introducción 

El suelo y el agua son dos recursos fundamentales del ambiente agrícola. Con los avances en las nuevas tecnologías agrícolas, grandes cantidades de agua y productos químicos son aplicados al suelo cada año. Este uso excesivo, ha puesto en peligro nuestros recursos, en adición existe un incremento de incidentes de contaminación de los acuíferos y las aguas superficiales, erosión, etc. desde fuentes puntuales y no puntuales.

Para ello, es necesario conocer las propiedades hidráulicas del suelo, curva de retención de humedad en el suelo (CTH) y la función conductividad hidráulica. Generalmente el número de puntos medidos para la curva resulta una cantidad reducida debido al trabajo de campo y laboratorio, así como los costos requeridos, por lo que si se ajustan estos datos a una función analítica, es posible la estimación de puntos intermedios dentro del rango experimental en que no han sido medidos.

Los modelos empíricos de retención de humedad del suelo, pueden dividirse en cuatro categorías según su relación funcional: exponencial, potencial, coseno hiperbólico y función error. Muchos autores utilizan una función potencial para caracterizar la retención de humedad del suelo (Brooks y Corey, 1964; Van Genuchten, 1980). El modelo de Brooks y Corey constituyó el modelo más popular entre los investigadores por su simplicidad ya que la curva puede ser representada como una recta en una gráfica log-log. Sin embargo Van Genuchten y Nielsen (1985) señalan que este modelo produce resultados aceptables sólo para suelos tamizados, de textura gruesa, con una distribución de poros relativamente estrecha, mientras que Hillel (1998) plantea que el mismo es válido para tensiones que no correspondan al rango húmedo.

 

Caso en Cuba

En Cuba se han empleado diferentes modelos de simulación en las investigaciones y el manejo agrícola, siendo uno de los parámetros fundamentales, el conocimiento de la CTH. Sin embargo, la medición en el campo o laboratorio de esta propiedad consume mucho tiempo, costo y frecuentemente impracticable debido al alto grado de variación espacial y temporal.

Material y Métodos

Curva de retención de humedad del suelo Se recopilaron y validaron 570 curvas de diferentes tipos de suelos agrícolas cubanos obtenidas en el periodo 1990 – 2003, que fueron determinadas en el laboratorio a partir de muestras alteradas e inalteradas, con rangos de tensiones entre 0 y 150 m, empleándose la caja de arena, la caja de caolín y la prensa de Richard (EIJKELKAMP, 2010).

En la tabla 1 se muestran los tipos de suelos en los cuales se realizaron las determinaciones y que aparecen agrupados según la textura predominante, la II Clasificación Genética de los suelos cubanos y la clasificación FAO-UNESCO (Instituto de Suelos.ACC, 1980), encontrándose una gran diversidad de éstos.

Modelos analíticos

Para la evaluación de los modelos de retención de humedad del suelo se utilizó el software RETC realizado por Van Genuchten et al. (2000), a partir del cual se determinaron los parámetros humedad de saturación y residual, así como α y n, que sirven de ajuste a los modelos analíticos empleados y que se presentan a continuación:

• El modelo de Van Genuchten con las restricciones
  m = 1-1/n (vG1) y m = 1-2/n (vG2), tiene la siguiente ecuación:
  Se = [1+(αh)n]-m

• El modelo de Brooks y Corey (BC) se basa en la ecuación siguiente:
  Se = (αh)-λ

• La Distribución Lognormal (DLN) (Kosugi, 1996) es representada por el modelo:
  Se = 1/2erfc(ln h/ho)/21/2σ

• Porosidad Dual (PD) (Durner, 1994) se determina como:
  Se = w1[1+( α 1h)n 1]-m 1+ w2[1+( α 2h)n 2]-m 2

Dónde: Se = (θ-θr)/( θs-θr), saturación efectiva; θr y θs corresponde a la humedad residual y de saturación (g g-1); θ contenido de humedad (g g-1); α, α 1, α2 es un parámetro empírico; n, m, n1, m1, n2 y m2 son parámetros de ajuste de la curva; h tensión (cm); erfc función de error complementario; λ parámetro característico del suelo y σ desviación estándar.

Determinación de los parámetros del modelo

Para la estimación de los parámetros desconocidos de los modelos evaluados se utilizó un proceso de optimización de mínimo cuadrado no lineal. El mismo se basó en la partición de la suma total de cuadrados de los valores observados en una parte descrita por el modelo ajustado y una parte residual que involucra los valores observados y los estimados por el modelo. Por lo que el proceso de ajuste de la curva consistió en encontrar una ecuación que maximice la suma de cuadrados asociada con el modelo y por otro lado minimice la suma de cuadrados residuales. Este parámetro estadístico refleja el grado de ajuste y la contribución de los errores aleatorios y será referido como la función objetivo O(b) en la cual b representa el vector del parámetro desconocido y se resuelve aplicando el método del vecino máximo de Marquardt (Marquardt, 1963). Siendo la función objetivo para el ajuste de la curva de retención de humedad en el suelo, la siguiente:

Donde: θi y θˆi corresponden a los contenidos de humedad en el suelo observados y ajustados (g/g), N es el número de datos de retención, wi es el factor de peso para cada dato de la curva de retención. Otro parámetro de ajuste utilizado es el coeficiente de determinación (r2), que se representa por la ecuación siguiente:

Dónde: yi y yˆ i son los valores ajustados y observados respectivamente. Además se determinó el error estándar de los parámetros ajustados, teniendo en cuenta la función Objetivo, el número de observaciones, el número de parámetros desconocidos a ser ajustado y la matriz inversa siguiendo el procedimiento de Daniel y Wood (1971) y se emplearon como patrón de comparación los rangos de validez establecidos por Shaap y Leij (1998) para los parámetros θr, θs, α y n y las propiedades físicas e hidráulicas promedios para cada tipo de suelo.

Resultados y discusión

Se evaluó el funcionamiento de los 5 modelos analíticos a partir de la suma de cuadrados residuales, mostrándose en la tabla 2 los valores obtenidos para cada tipo de suelo. Un análisis de los mismos reflejan que el modelo de Van Genuchten describe con precisión la CTH, es decir hay una mejor correspondencia entre las curvas de retención obtenidas experimentalmente y las estimadas, siendo la variante vG1 con un valor promedio de 0.89×10-3 g g-1 la que mejor describe los datos obtenidos en el laboratorio. Resultados similares se han obtenido por diferentes autores entre los que se encuentran Ruiz et al. (2006) que obtuvieron SCR que oscilan entre 0.31×10-3 y 4.09×10-3 g g-1 al ajustar las curvas de retención de humedad para diferentes suelos cubanos.

Los valores del coeficiente de determinación que aparecen en la tabla 2 corroboran los resultados anteriores con respecto al ajuste que existe entre los valores de humedad obtenidos en el laboratorio para cada punto de tensión de la curva con los estimados por los modelos analíticos evaluados. Siendo el modelo de Van Genuchten para las condiciones m = 1-1/n y m = 1-2/n, los que tienen mayor r2 promedio, con valor de 0.97, lo que unido a los resultados de la SCR hace que el modelo vG1 sea el más apropiado para describir el proceso de retención de agua en el suelo.

El modelo de porosidad dual aunque tiene en cuenta una estructura de poros heterogénea, que es aplicable a los suelos evaluados, mostró los mayores valores de SCR con un promedio de 74.61×10-3 g g-1 y la menor r2 promedio de 0.95 junto con el modelo de distribución lognormal, lo cual se debe a que en una muestra de suelo de 100 cm3 solo se tiene una aproximación de la macroporosidad presente en el suelo.

En la tabla 3 aparecen los valores de los parámetros de Van Genuchten estimados con la condición m = 1-1/n para los agrupamientos de suelo estudiados. Un análisis de los mismos muestran que la humedad residual varía en cada agrupamiento, siendo el mínimo de 0.1021 g g-1 para los suelos arenosos; valor este muy acertado debido a la cantidad de elementos silicios en forma de arena o gravas de cuarzo presentes en estos suelos y a contenidos de arcilla muy bajos, que no sobrepasan el 15% en los primeros 100 cm de profundidad. Mientras que el máximo fue de 0.2851 g g-1 y se obtuvo para el suelo Oscuro Plástico Gleysoso, debido a la cantidad y al tipo de arcilla predominante en el mismo; la cual alcanza valores por encima del 50% y pertenece al grupo de la esmectita, considerado un mineral que retiene altos contenidos de humedad.

 En el caso de los suelos Ferríticos y Ferralíticos la humedad residual es relativamente alta, lo cual pudiera estar dado por el contenido de arcilla (entre 50 y 80 %), que hace que estos suelos tengan una  gran cantidad de área superficial disponible para retener agua a valores de tensión elevadas. La humedad de saturación se encuentra dentro de los rangos de validez establecidos para los suelos cubanos, mientras que el resto de los parámetros se ajustaron a los criterios definidos por Shaap y Leij (1998).

En la tabla 4 se muestra el error estándar para cada parámetro del modelo de Van Genuchten siendo los valores promedio en la humedad residual, humedad de saturación, α y n de 0.0513 g g-1, 0.0267 g g-1, 0.0417 y 0.1273 respectivamente, lo que indica el rango de variación que pueden tener estos parámetros y a su vez se consideran como aceptables si se tiene en cuenta la variabilidad de los mismos en el suelo, señalada por Warrick (2003).

También se determinaron los limites superiores e inferiores de cada parámetro para el 95% de confianza y la matriz de correlación de los mismos, encontrándose que la θr está altamente correlacionada con n, alcanzando un valor promedio de 0.9 y en menor cuantía con α (0.7); para el caso de la θs se obtuvo una correlación moderada con α y baja con n, siendo éstas de 0.7 y 0.4, respectivamente. Mientras que las variables de ajuste de la curva (α y n) tuvieron un valor de correlación de 0.8, lo que indica que existe una fuerte dependencia entre los parámetros que forman el modelo de Van Genuchten.

Sensibilidad del modelo

En la figura 1 se muestra que durante la estimación de la CTH con el modelo Van Genuchten, no se observaron diferencias apreciables entre los contenidos de humedad de saturación estimados y los determinados en el laboratorio, siendo el r2 igual a 0.99 y la suma de cuadrados residuales de 6.44×10-3 g g-1. Esto demuestra que no es imprescindible definir el valor de θs en el modelo, pudiendo estimarse al igual que los demás parámetros a partir de iteraciones en las cuales se busca minimizar la función objetivo.

Por otra parte si se desconoce en la curva experimental el contenido de humedad a tensión 0, esta puede utilizarse para determinar los parámetros del modelo de Van Genuchten θr, θs, α y n ya que aunque es un valor extremo, los resultados obtenidos se encuentran dentro de los rangos de validez permisibles. Similares resultados obtuvieron Van Genuchten y Nielsen (1985) al afirmar que es posible estimar la θs con el modelo, ya que tiene una alta variabilidad debido a los cambios de humedad que ocurren en el suelo producto del manejo agrícola, el tamaño de la muestra y el momento en que se toma la misma. También Warrick (2003) hace referencia a la variabilidad espacial de los valores extremos de la curva de retención de humedad en el suelo, señalando que tienen un coeficiente de variación que oscila entre 10 y 50 %, respectivamente. En el caso que existan variaciones del contenido de humedad (>0.1 cm3 cm-3) en el rango de 0 a 100 cm, se afectan principalmente los parámetros θs y α que representa el índice de distribución del tamaño de los poros; alcanzándose valores por encima de los recomendados para los suelos.

En el caso de la θr, puede determinarse la misma a partir de la extrapolación de datos de retención de humedad existentes o a través del modelo obteniéndose resultados dentro de los rangos definidos para los suelos estudiados, siendo necesario disponer de tensiones próximas al límite inferior de humedad (por encima de 1000 cm).

 

Conclusiones

El modelo de Van Genuchten con la condición m = 1-1/n es el que mejor describe el comportamiento hidráulico de los suelos estudiados, siendo de 0.89×10-3 g/g la suma de cuadrados residuales promedio.

Los valor de θr, θs, α y n obtenidos pueden ser utilizados para caracterizar el movimiento de agua en la zona no saturada, cuando no se disponen de curvas de retención de humedad en el suelo. El límite superior e inferior de humedad en el suelo puede ser estimado por el modelo RETC, para fines de riego y drenaje, alcanzándose valores precisos y confiables.